Die Normalverteilung wird auch als Gauß- oder Gauß-Verteilung bezeichnet. Die Verbreitung ist in den Natur- und Sozialwissenschaften weit verbreitet. Es wird durch den zentralen Grenzwertsatz relevant gemacht. Zentraler Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Stichprobenmittelwert einer Zufallsvariablen eine nahezu normale oder normale Verteilung annimmt, wenn die Stichprobengröße groß ist, was besagt, dass die Durchschnittswerte aus unabhängigen identisch sind verteilte Zufallsvariablen Zufallsvariable Eine Zufallsvariable (stochastische Variable) ist eine Art von Variable in der Statistik, deren mögliche Werte von den Ergebnissen eines bestimmten Zufallsphänomens abhängen und dazu neigen, Normalverteilungen zu bilden, unabhängig von der Art der Verteilungen, aus denen sie abgetastet werden.
Form der Normalverteilung
Eine Normalverteilung ist symmetrisch zum Peak der Kurve, wobei der mittlere Mittelwert ein wesentliches Konzept in Mathematik und Statistik ist. Im Allgemeinen bezieht sich ein Mittelwert auf den Durchschnitt oder den häufigsten Wert in einer Sammlung von ist. Dies bedeutet, dass die meisten beobachteten Daten in der Nähe des Mittelwerts geclustert werden, während die Daten weniger häufig werden, wenn sie weiter vom Mittelwert entfernt sind. Das resultierende Diagramm wird glockenförmig angezeigt, wobei der Mittelwert, der Median und der Modusmodus A-Modus der am häufigsten vorkommende Wert in einem Datensatz ist. Der Modus ist neben Mittelwert und Median ein statistisches Maß für die zentrale Tendenz in einem Datensatz. Sie haben dieselben Werte und erscheinen am Peak der Kurve.
Das Diagramm ist eine perfekte Symmetrie, sodass Sie, wenn Sie es in der Mitte falten, zwei gleiche Hälften erhalten, da die Hälfte der beobachtbaren Datenpunkte auf jede Seite des Diagramms fällt.
Parameter der Normalverteilung
Die beiden Hauptparameter einer (Normal-) Verteilung sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Die Parameter bestimmen die Form und die Wahrscheinlichkeiten der Verteilung. Die Form der Verteilung ändert sich, wenn sich die Parameterwerte ändern.
1. Mittelwert
Der Mittelwert wird von Forschern als Maß für die zentrale Tendenz verwendet. Es kann verwendet werden, um die Verteilung von Variablen zu beschreiben, die als Verhältnisse oder Intervalle gemessen werden. In einem Normalverteilungsdiagramm definiert der Mittelwert den Ort des Peaks, und die meisten Datenpunkte sind um den Mittelwert gruppiert. Bei Änderungen am Mittelwert wird die Kurve entlang der X-Achse entweder nach links oder rechts verschoben.
2. Standardabweichung
Die Standardabweichung Standardabweichung Aus statistischer Sicht ist die Standardabweichung eines Datensatzes ein Maß für die Größe der Abweichungen zwischen den Werten der enthaltenen Beobachtungen und misst die Streuung der Datenpunkte relativ zum Mittelwert. Sie bestimmt, wie weit die Datenpunkte vom Mittelwert entfernt sind, und gibt den Abstand zwischen dem Mittelwert und den Beobachtungen an.
In der Grafik bestimmt die Standardabweichung die Breite der Kurve und vergrößert oder erweitert die Breite der Verteilung entlang der x-Achse. Typischerweise erzeugt eine kleine Standardabweichung relativ zum Mittelwert eine steile Kurve, während eine große Standardabweichung relativ zum Mittelwert eine flachere Kurve erzeugt.
Eigenschaften
Alle Formen der (Normal-) Verteilung weisen folgende Merkmale auf:
1. Es ist symmetrisch
Eine Normalverteilung hat eine perfekt symmetrische Form. Dies bedeutet, dass die Verteilungskurve in der Mitte geteilt werden kann, um zwei gleiche Hälften zu erzeugen. Die symmetrische Form tritt auf, wenn die Hälfte der Beobachtungen auf jede Seite der Kurve fällt.
2. Mittelwert, Median und Modus sind gleich
Der Mittelpunkt einer Normalverteilung ist der Punkt mit der maximalen Häufigkeit, was bedeutet, dass er die meisten Beobachtungen der Variablen besitzt. Der Mittelpunkt ist auch der Punkt, an dem diese drei Maßnahmen fallen. Die Maße sind normalerweise in einer perfekten (Normal-) Verteilung gleich.
3. Empirische Regel
In normalverteilten Daten liegt ein konstanter Anteil des Abstands unter der Kurve zwischen dem Mittelwert und der spezifischen Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert. Zum Beispiel liegen 68,25% aller Fälle innerhalb von +/- einer Standardabweichung vom Mittelwert. 95% aller Fälle liegen innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen vom Mittelwert, während 99% aller Fälle innerhalb von +/- drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.
4. Schiefe und Kurtosis
Schiefe und Kurtosis sind Koeffizienten, die messen, wie unterschiedlich eine Verteilung von einer Normalverteilung ist. Die Schiefe misst die Symmetrie einer Normalverteilung, während die Kurtosis die Dicke der Schwanzenden relativ zu den Schwänzen einer Normalverteilung misst.
Geschichte der Normalverteilung
Die meisten Statistiker würdigen den französischen Wissenschaftler Abraham de Moivre für die Entdeckung von Normalverteilungen. In der zweiten Ausgabe von „The Doctrine of Chances“ stellte Moivre fest, dass Wahrscheinlichkeiten, die mit diskret generierten Zufallsvariablen verbunden sind, durch Messen der Fläche unter dem Diagramm einer Exponentialfunktion angenähert werden können.
Moivres Theorie wurde von einem anderen französischen Wissenschaftler, Pierre-Simon Laplace, in "Analytic Theory of Probability" erweitert. Laplace's Arbeit führte den zentralen Grenzwertsatz ein, der bewies, dass Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Zufallsvariablen schnell zu den Bereichen unter einer Exponentialfunktion konvergieren.
Zusätzliche Ressourcen
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- Zentrale Tendenz Zentrale Tendenz Die zentrale Tendenz ist eine beschreibende Zusammenfassung eines Datensatzes durch einen einzelnen Wert, der das Zentrum der Datenverteilung widerspiegelt. Zusammen mit der Variabilität
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- Kurtosis Kurtosis Kurtosis ist ein statistisches Maß, das definiert, wie stark sich die Schwänze einer Verteilung von den Schwänzen einer Normalverteilung unterscheiden. Mit anderen Worten,
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