Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist ein Werkzeug, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie-Statistik verwendet wird. Hypothesentest Hypothesentest ist eine Methode zur statistischen Inferenz. Es wird verwendet, um zu testen, ob eine Aussage zu einem Populationsparameter korrekt ist. Hypothesentest zur Vorhersage des Ausmaßes der Abweichung von einer bekannten durchschnittlichen Auftrittsrate innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens.

Mit anderen Worten, wenn die durchschnittliche Rate, mit der ein bestimmtes Ereignis innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens auftritt, bekannt ist oder bestimmt werden kann (z. B. Ereignis "A" tritt durchschnittlich "x" Mal pro Stunde auf), kann die Poisson-Verteilung wie folgt verwendet werden:

• Um festzustellen, wie viel Abweichung von dieser durchschnittlichen Anzahl von Vorkommen wahrscheinlich sein wird
• Um die wahrscheinliche maximale und minimale Häufigkeit zu bestimmen, mit der das Ereignis innerhalb des angegebenen Zeitrahmens auftritt

Companies Corporation Eine Corporation ist eine juristische Person, die von Einzelpersonen, Aktionären oder Aktionären mit dem Ziel gegründet wurde, gewinnorientiert zu arbeiten. Unternehmen dürfen Verträge abschließen, klagen und verklagt werden, Vermögen besitzen, Bundes- und Landessteuern überweisen und Geld von Finanzinstituten leihen. kann die Poisson-Verteilung verwenden, um zu untersuchen, wie sie möglicherweise Maßnahmen zur Verbesserung ihrer betrieblichen Effizienz ergreifen können. Beispielsweise kann eine mit der Poisson-Verteilung durchgeführte Analyse ergeben, wie ein Unternehmen die Mitarbeiterfluktuationsrate festlegen kann. Die Fluktuationsrate der Mitarbeiter ist der Anteil der Mitarbeiter, die das Unternehmen während eines bestimmten Zeitraums verlassen. Erfahren Sie, wie Sie die Fluktuationsrate von Mitarbeitern berechnen. um Spitzenzeiten für Kundendienstanrufe besser bewältigen zu können.

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Die Geschichte der Poisson-Verteilung

Wie viele statistische Tools und Wahrscheinlichkeitsmetriken wurde die Poisson-Verteilung ursprünglich auf die Welt des Glücksspiels angewendet. Im Jahr 1830 entwickelte der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson die Verteilung, um den niedrigen bis hohen Spread-Crack-Spread anzuzeigen. Der Crack-Spread bezieht sich auf den Preisunterschied zwischen einem Barrel Rohöl und seinen Nebenprodukten wie Benzin, Heizöl, Düsentreibstoff, Kerosin und Asphaltbasis , Dieselkraftstoff und Heizöl. Das Geschäft mit der Raffination von Rohöl zu verschiedenen Komponenten war aus Umsatzsicht immer volatil. von der wahrscheinlichen Häufigkeit, mit der ein Spieler bei einem Glücksspiel - wie Baccarat - innerhalb einer großen Anzahl von Spielen gewinnen würde. (Leider hat der Spieler Poissons Vorhersage der Wahrscheinlichkeiten, dass er nur eine bestimmte Anzahl von Gewinnen erzielt, keine Beachtung geschenkt.und schwer verloren.)

Das breite Spektrum möglicher Anwendungen des statistischen Tools von Poisson wurde einige Jahre später, während des Zweiten Weltkriegs, deutlich, als ein britischer Statistiker damit Bombenanschläge in der Stadt London analysierte. RD Clarke verfeinerte die Poisson-Verteilung als statistisches Modell und versicherte der britischen Regierung, dass die deutschen Bomben zufällig oder rein zufällig fielen und dass ihren Feinden genügend Informationen fehlten, um bestimmte Gebiete der Stadt anzugreifen.

Seitdem wurde die Poisson-Distribution in einer Vielzahl von Studienbereichen angewendet, darunter Medizin, Astronomie, Wirtschaft und Sport.

Wenn die Poisson-Verteilung gültig ist

Die Poisson-Verteilung ist nur unter bestimmten Bedingungen ein gültiges Werkzeug zur Wahrscheinlichkeitsanalyse. Es ist ein gültiges statistisches Modell, wenn alle folgenden Bedingungen vorliegen:

• k ist die Häufigkeit, mit der ein Ereignis innerhalb eines bestimmten Zeitraums auftritt, und die möglichen Werte für k sind einfache Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4, 5 usw.
• Kein Auftreten des zu analysierenden Ereignisses beeinflusst die Wahrscheinlichkeit eines erneuten Auftretens des Ereignisses (Ereignisse treten unabhängig voneinander auf).
• Das betreffende Ereignis kann nicht zweimal genau zur gleichen Zeit auftreten. Es muss ein Zeitintervall geben - auch wenn es nur eine halbe Sekunde ist -, das das Auftreten des Ereignisses trennt.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis innerhalb eines Teils des gesamten untersuchten Zeitrahmens auftritt, ist proportional zur Länge dieses kleineren Teils des Zeitrahmens.

• Die Anzahl der Versuche (Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt) ist ausreichend größer als die Häufigkeit, mit der das Ereignis tatsächlich eintritt (mit anderen Worten, die Poisson-Verteilung ist nur für die Anwendung auf Ereignisse vorgesehen, die relativ selten auftreten).

Unter den obigen Bedingungen ist k eine Zufallsvariable und die Verteilung von k ist eine Poisson-Verteilung.

Die Verteilungsformel

Nachfolgend finden Sie die Poisson-Verteilungsformel, bei der die mittlere (durchschnittliche) Anzahl von Ereignissen innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens mit μ bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeitsformel lautet:

P ( x ; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Wo:

x = Häufigkeit und Ereignis während des Zeitraums

e (Eulers Zahl = Basis der natürlichen Logarithmen) beträgt ca. 2.72

x! = die Fakultät von x (wenn zum Beispiel x 3 ist, dann ist x! = 3 x 2 x 1 = 6)

Lassen Sie uns die Formel in Aktion sehen:

Angenommen, das tägliche Verkaufsvolumen von 60-Zoll-4K-UHD-Fernsehern bei XYZ Electronics beträgt durchschnittlich fünf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass XYZ Electronics heute neun Fernseher verkauft.

• μ = 5, da fünf 60-Zoll-Fernseher der tägliche Verkaufsdurchschnitt sind
• x = 9, weil wir nach der Wahrscheinlichkeit suchen wollen, dass neun Fernseher verkauft werden
• e = 2,71828

Fügen Sie die Werte in die Verteilungsformel ein: P ( x ; μ) = (e-μ) (μx) / x!

= (2.71828-5) (59) / 9!

= (0,0067) (1953125) / (3262880)

= 0,036

3,6% ist die Wahrscheinlichkeit, dass heute neun 60-Zoll-Fernseher verkauft werden.

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Beispiele: Geschäftsverwendungen der Poisson-Distribution

Die Poisson-Verteilung kann praktisch auf mehrere Geschäftsvorgänge angewendet werden, die für Unternehmen üblich sind. Wie oben erwähnt, kann die Analyse der Vorgänge mit der Poisson-Verteilung dem Unternehmensmanagement Einblicke in die betriebliche Effizienz geben und Möglichkeiten zur Steigerung der Effizienz und zur Verbesserung der Abläufe vorschlagen .

Hier sind einige Möglichkeiten, wie ein Unternehmen Analysen mit der Poisson-Distribution verwenden kann.

• Überprüfen Sie, ob ausreichend Kundendienstpersonal vorhanden ist . Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Kundendienstanrufen pro Stunde, deren Bearbeitung mehr als 10 Minuten dauert. Berechnen Sie dann die Poisson-Verteilung, um die wahrscheinliche maximale Anzahl von Anrufen pro Stunde zu ermitteln, für deren Bearbeitung möglicherweise mehr als zehn Minuten erforderlich sind. Angenommen, die maximale Anzahl von Anrufen über 10 Minuten erfolgt, prüfen Sie, ob das Personal des Kundendienstes ausreicht, um alle Anrufe zu bearbeiten, ohne dass Kunden in der Warteschleife warten müssen.
• Verwenden Sie die Poisson-Formel, um zu bewerten, ob es finanziell rentabel ist, ein Geschäft 24 Stunden am Tag geöffnet zu halten . Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der Verkäufe, die das Geschäft während der Nachtschicht getätigt hat - den Zeitraum von Mitternacht bis 8 Uhr. Berechnen Sie dann anhand der Verteilungsformel die wahrscheinlich niedrigste Anzahl der Verkäufe, die während der Nachtschicht getätigt werden könnten.

Stellen Sie abschließend fest, ob diese niedrigste wahrscheinliche Verkaufszahl ausreichende Einnahmen darstellt, um alle Kosten (Löhne und Gehälter, Strom usw.) für die Offenhaltung des Geschäfts während dieses Zeitraums zu decken und gleichzeitig einen angemessenen Gewinn zu erzielen.

• Überprüfung und Bewertung des Versicherungsschutzes von Unternehmen . Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl von Verlusten oder Ansprüchen, die jedes Jahr auftreten und von der Unternehmensversicherung des Unternehmens abgedeckt werden. Führen Sie dann eine Poisson-Wahrscheinlichkeitsberechnung durch, um die maximale und minimale Anzahl von Ansprüchen zu bestimmen, die vernünftigerweise während eines Jahres eingereicht werden könnten.

Überprüfen Sie die Kosten Ihrer Versicherung und den Versicherungsschutz. Überlegen Sie, ob Sie möglicherweise zu viel bezahlen - das heißt, Sie zahlen für einen Deckungsgrad, den Sie angesichts der wahrscheinlichen maximalen Anzahl von Ansprüchen wahrscheinlich nicht benötigen.

Alternativ können Sie feststellen, dass Sie unterversichert sind. Wenn die Poisson-Verteilung die wahrscheinlich höchste Anzahl von Schadensfällen innerhalb eines Jahres aufweist, ist Ihr Versicherungsschutz nicht ausreichend, um die Verluste zu decken.

Zusammenfassung

Die Poisson-Verteilung kann ein hilfreiches statistisches Tool sein, mit dem Sie den Geschäftsbetrieb bewerten und verbessern können. Excel bietet eine Poisson-Funktion POISSON.DIST-Funktion Die POISSON.DIST-Funktion ist unter Statistische Excel-Funktionen kategorisiert. Es wird die Poisson-Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen. Als Finanzanalyst ist POISSON.DIST bei der Umsatzprognose hilfreich. Wir können es auch verwenden, um die Anzahl der Ereignisse vorherzusagen, die alle Wahrscheinlichkeitsberechnungen für Sie verarbeiten - schließen Sie einfach die Zahlen an.

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