Kapitalallokationslinie (CAL) und optimales Portfolio

Die Kapitalallokationslinie (Capital Allocation Line, CAL) ist eine Linie, die das Risiko- und Ertragsprofil von Vermögenswerten grafisch darstellt und zur Ermittlung des optimalen Portfolios verwendet werden kann. Der Prozess zum Erstellen der CAL für eine Sammlung von Portfolios wird nachfolgend beschrieben.

Portfolio erwartete Rendite und Varianz

Der Einfachheit halber werden wir ein Portfolio mit nur zwei riskanten Vermögenswerten aufbauen.

Die erwartete Rendite des Portfolios ist ein gewichteter Durchschnitt der erwarteten Rendite seiner einzelnen Vermögenswerte und wird wie folgt berechnet:

E (Rp) = w 1 E (R 1 ) + w 2 E (R 2 )

Wobei w 1 , w 2 die jeweiligen Gewichte für die beiden Vermögenswerte sind und E (R 1 ), E (R 2 ) die jeweiligen erwarteten Renditen sind.

Varianzniveaus werden direkt mit Risikograden übersetzt. Eine höhere Varianz bedeutet ein höheres Risiko und umgekehrt. Die Varianz eines Portfolios ist nicht nur der gewichtete Durchschnitt der Varianz einzelner Vermögenswerte, sondern hängt auch von der Kovarianz und Korrelation der beiden Vermögenswerte ab. Die Formel für die Portfolio-Varianz lautet wie folgt:

Var (R p ) = w 2 1 Var (R 1 ) + w 2 2 Var (R 2 ) + 2 w 1 w 2 Cov (R 1 , R 2 )

Wobei Cov (R 1 , R 2 ) die Kovarianz der beiden Vermögensrenditen darstellt. Alternativ kann die Formel wie folgt geschrieben werden:

σ 2 p = w 2 1 σ 2 1 + w 2 2 σ 2 2 + 2ρ (R 1 , R 2 ) w 1 w 2 σ 1 σ 2 unter Verwendung von ρ (R 1 , R 2 ) die Korrelation von R 1 und R 2 .

Die Umwandlung zwischen Korrelation und Kovarianz ist gegeben als: ρ (R 1 , R 2 ) = Cov (R 1 , R 2 ) / σ 1 σ 2 .

Die Varianz der Portfoliorendite ist größer, wenn die Kovarianz der beiden Vermögenswerte positiv ist, und geringer, wenn sie negativ ist. Da Varianz ein Risiko darstellt, ist das Portfoliorisiko geringer, wenn seine Vermögenskomponenten eine negative Kovarianz aufweisen. Diversifikation ist eine Technik, die das Portfoliorisiko minimiert, indem sie in Vermögenswerte mit negativer Kovarianz investiert.

In der Praxis kennen wir die Renditen und Standardabweichungen einzelner Vermögenswerte nicht, können diese Werte jedoch auf der Grundlage der historischen Werte dieser Vermögenswerte schätzen.

Die effiziente Grenze

Eine Portfoliogrenze ist ein Diagramm, das alle möglichen Portfolios mit unterschiedlichen Asset-Gewichtskombinationen abbildet, wobei die Niveaus der Portfolio-Standardabweichung auf der x-Achse und die erwartete Rendite des Portfolios auf der y-Achse dargestellt sind.

Um eine Portfoliogrenze zu konstruieren, weisen wir zunächst Werte für E (R 1 ), E (R 2 ), stdev (R 1 ), stdev (R 2 ) und ρ (R 1 , R 2 ) zu. Unter Verwendung der obigen Formeln berechnen wir dann die erwartete Rendite und Varianz des Portfolios für jede mögliche Kombination von Vermögensgewichten (w 2 = 1 - w 1 ). Dieser Vorgang kann problemlos in Microsoft Excel ausgeführt werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt:

Kapitalallokationslinie (CAL)

Anschließend verwenden wir das Streudiagramm mit glatten Linien, um die erwartete Rendite und Standardabweichung des Portfolios darzustellen. Das Ergebnis ist in der folgenden Grafik dargestellt, wobei jeder Punkt auf dem Plot ein Portfolio darstellt, das unter einer Asset-Weight-Kombination erstellt wurde.

Portfolio Grenze

Woher wissen wir also, welche Portfolios für Anleger attraktiv sind? Um dies zu beantworten, führen wir das Konzept des Mittelwert-Varianz-Kriteriums ein , das besagt, dass Portfolio A Portfolio B dominiert, wenn E (R A ) ≥ E (R B ) und σ A ≤ σ B (dh Portfolio A bietet eine höhere erwartete Rendite und geringeres Risiko als Portfolio B). In diesem Fall würden Anleger A gegenüber B bevorzugen.

Aus der Grafik können wir schließen, dass Portfolios im abwärts geneigten Teil der Portfoliogrenze vom aufwärts abfallenden Teil dominiert werden. Daher stellen die Punkte auf dem nach oben geneigten Teil der Portfoliogrenze Portfolios dar, die Anleger attraktiv finden, während die Punkte auf dem nach unten abfallenden Teil Portfolios darstellen, die ineffizient sind.

Gemäß dem Kriterium der mittleren Varianz würde jeder Anleger ein Portfolio optimal auf dem nach oben abfallenden Teil der Portfoliogrenze auswählen, der als effiziente Grenze oder Grenze der minimalen Varianz bezeichnet wird . Die Wahl eines Portfolios an der effizienten Grenze hängt von den Risikopräferenzen des Anlegers ab.

Ein Portfolio über der effizienten Grenze ist unmöglich, während ein Portfolio unter der effizienten Grenze ineffizient ist.

Komplette Portfolio- und Kapitalallokationslinie

Beim Aufbau von Portfolios kombinieren Anleger häufig risikoreiche Vermögenswerte mit risikofreien Vermögenswerten (z. B. Staatsanleihen), um Risiken zu reduzieren. Ein vollständiges Portfolio ist definiert als eine Kombination aus einem risikoreichen Vermögensportfolio mit der Rendite R p und dem risikofreien Vermögenswert mit der Rendite R f .

Die erwartete Rendite eines vollständigen Portfolios ergibt sich aus:

E (R c ) = w p E (R p ) + (1 - w p ) R f

Die Varianz und Standardabweichung der gesamten Portfoliorendite wird wie folgt angegeben:

Var (R c ) = w 2 p Var (R p ), & sgr ; (R c ) = w p & sgr; (R p ),

Dabei ist w p der Anteil, der in das Portfolio mit riskanten Vermögenswerten investiert ist.

Die erwartete Überschussrendite eines vollständigen Portfolios wird wie folgt berechnet:

E (R c ) - R f ,

Wenn wir E (R c ) durch die vorherige Formel ersetzen , erhalten wir w p (E (R p ) - R f ).

Die Standardabweichung des gesamten Portfolios beträgt σ (R c ) = w p σ (R p ), was uns ergibt:

w p = σ (R c ) / σ (R p )

Daher für jedes vollständige Portfolio:

Oder E (R c ) = R f + S p σ (R c ), wobei S p =

Die Linie E (R c ) = R f + S p σ (R c ) ist die Kapitalallokationslinie (CAL). Die Steigung der Linie S p wird als Sharpe Ratio Sharpe Ratio bezeichnet. Die Sharpe Ratio ist ein Maß für die risikobereinigte Rendite, bei der die Überschussrendite einer Anlage mit ihrer Standardabweichung der Renditen verglichen wird. Die Sharpe Ratio wird üblicherweise verwendet, um die Wertentwicklung einer Anlage durch Anpassung an ihr Risiko zu messen. oder Belohnungs-Risiko-Verhältnis. Die Sharpe Ratio misst den Anstieg der erwarteten Rendite pro Einheit zusätzlicher Standardabweichung.

Optimales Portfolio

Das optimale Portfolio besteht aus einem risikofreien Vermögenswert und einem optimalen risikobehafteten Vermögensportfolio. Das optimale risikoreiche Vermögensportfolio befindet sich an dem Punkt, an dem die CAL die effiziente Grenze berührt. Dieses Portfolio ist optimal, da die Steigung von CAL am höchsten ist, was bedeutet, dass wir die höchsten Renditen pro zusätzlicher Risikoeinheit erzielen. Die folgende Grafik veranschaulicht dies:

optimales Portfolio

Die tangentialen Portfoliogewichte werden wie folgt berechnet:

Zusammenfassung der Kapitalallokationslinie

Anleger nutzen sowohl die effiziente Grenze als auch die CAL, um je nach Wunsch unterschiedliche Kombinationen von Risiko und Rendite zu erzielen. Das optimale Risikoportfolio befindet sich an dem Punkt, an dem die CAL die effiziente Grenze berührt. Diese Asset-Weight-Kombination bietet das beste Risiko-Ertrags-Verhältnis, da sie die höchste Steigung für CAL aufweist.

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  • Karriereprofil des Portfoliomanagements Karriereprofil des Portfoliomanagements Das Portfoliomanagement verwaltet Investitionen und Vermögenswerte für Kunden, darunter Pensionsfonds, Banken, Hedgefonds und Family Offices. Der Portfoliomanager ist dafür verantwortlich, den richtigen Asset-Mix und die richtige Anlagestrategie beizubehalten, die den Bedürfnissen des Kunden entsprechen. Gehalt, Fähigkeiten,
  • Marktrisikoprämie Marktrisikoprämie Die Marktrisikoprämie ist die zusätzliche Rendite, die ein Anleger erwartet, wenn er ein risikoreiches Marktportfolio anstelle von risikofreien Vermögenswerten hält.
  • Definition der Sharpe Ratio Sharpe Ratio Die Sharpe Ratio ist ein Maß für die risikobereinigte Rendite, bei der die Überschussrendite einer Anlage mit ihrer Standardabweichung der Rendite verglichen wird. Die Sharpe Ratio wird üblicherweise verwendet, um die Wertentwicklung einer Anlage durch Anpassung an ihr Risiko zu messen.
  • Sharpe Ratio-Rechner Sharpe Ratio-Rechner Mit dem Sharpe Ratio-Rechner können Sie die risikobereinigte Rendite einer Anlage messen. Laden Sie die Excel-Vorlage und den Sharpe Ratio-Rechner von Finance herunter. Sharpe Ratio = (Rx - Rf) / StdDev Rx. Wobei: Rx = erwartete Portfoliorendite, Rf = risikofreie Rendite, StdDev Rx = Standardabweichung der Portfoliorendite / Volatilität

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