Was sind Optionspreismodelle?

Optionspreismodelle sind mathematische Modelle, die bestimmte Variablen verwenden, um den theoretischen Wert einer Option zu berechnen. Call-Option Eine Call-Option, die üblicherweise als "Call" bezeichnet wird, ist eine Form eines Derivatkontrakts, der dem Käufer der Call-Option das Recht gibt, aber nicht die Verpflichtung, eine Aktie oder ein anderes Finanzinstrument zu einem bestimmten Preis - dem Ausübungspreis der Option - innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu kaufen. . Der theoretische Wert einer Option ist eine Schätzung des Werts einer Option unter Verwendung aller bekannten Eingaben. Mit anderen Worten, Optionspreismodelle liefern uns den beizulegenden Zeitwert einer Option. Finanzfachleute kennen die Schätzung des beizulegenden Zeitwerts einer Option und werden zum Finanzanalysten. So werden Sie Finanzanalyst. Befolgen Sie den Leitfaden von Finance zu Networking, Lebenslauf, Interviews, Finanzmodellierungsfähigkeiten und vielem mehr.Wir haben im Laufe der Jahre Tausenden von Menschen geholfen, Finanzanalysten zu werden und genau zu wissen, worauf es ankommt. könnte ihre Handelsstrategien anpassen Trade Order Timing - Trading Trade Order Timing bezieht sich auf die Haltbarkeit einer bestimmten Trade Order. Die gebräuchlichsten Arten des Handelsauftrags-Timings sind Marktaufträge, AGB-Aufträge und Fill- oder Kill-Aufträge. und Portfolios. Optionspreismodelle sind daher leistungsstarke Tools für Finanzfachleute, die am Optionshandel beteiligt sind.Optionspreismodelle sind leistungsstarke Tools für Finanzfachleute, die im Optionshandel tätig sind.Optionspreismodelle sind leistungsstarke Tools für Finanzfachleute, die im Optionshandel tätig sind.

Was ist eine Option?

Eine formale Definition einer Option besagt, dass es sich um eine Art Vertrag zwischen zwei Parteien handelt, der einer Partei das Recht, aber nicht die Verpflichtung einräumt, den zugrunde liegenden Vermögenswert vor oder am Verfalltag zu einem festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Es gibt zwei Haupttypen von Optionen: Calls und Puts.

  • Call ist ein Optionsvertrag, der Ihnen das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, den Basiswert zu einem festgelegten Preis vor oder am Verfalltag zu kaufen.
  • Put ist ein Optionskontrakt, der Ihnen das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, den Basiswert vor oder am Verfalltag zu einem festgelegten Preis zu verkaufen.

Optionen können auch nach ihrer Ausübungszeit klassifiziert werden:

  • Optionen im europäischen Stil können nur zum Ablaufdatum ausgeübt werden.
  • Optionen im amerikanischen Stil können jederzeit zwischen Kauf und Ablaufdatum ausgeübt werden.

Die oben erwähnte Klassifizierung von Optionen ist äußerst wichtig, da die Wahl zwischen Optionen im europäischen oder amerikanischen Stil unsere Wahl für das Optionspreismodell beeinflusst.

Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit

Bevor wir mit der Erörterung verschiedener Optionspreismodelle beginnen, sollten wir das Konzept der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten verstehen, die in der Optionspreisgestaltung weit verbreitet sind und in verschiedenen Optionspreismodellen auftreten können.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische Wahrscheinlichkeit für risikobereinigte zukünftige Ergebnisse. Hinter diesem Konzept stehen zwei Hauptannahmen:

  1. Der aktuelle Wert eines Vermögenswerts entspricht seiner erwarteten Auszahlung, die mit dem risikofreien Zinssatz abgezinst wird.
  2. Es gibt keine Arbitrage-Möglichkeiten auf dem Markt.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs in einer risikoneutralen Welt steigen würde. Wir gehen jedoch weder davon aus, dass alle Anleger am Markt risikoneutral sind, noch davon, dass risikoreiche Vermögenswerte die risikofreie Rendite erzielen. Dieser theoretische Wert misst die Wahrscheinlichkeit des Kaufs und Verkaufs der Vermögenswerte, als ob es für alles auf dem Markt eine einzige Wahrscheinlichkeit gäbe.

Binomial Optionspreismodell

Die einfachste Methode zur Bewertung der Optionen ist die Verwendung eines binomialen Optionspreismodells. Dieses Modell basiert auf der Annahme perfekt effizienter Märkte. Unter dieser Annahme kann das Modell die Option zu jedem Zeitpunkt eines bestimmten Zeitrahmens bewerten.

Nach dem Binomialmodell gehen wir davon aus, dass der Preis des Basiswerts im Berichtszeitraum entweder steigen oder fallen wird. Angesichts der möglichen Preise des Basiswerts und des Ausübungspreises einer Option können wir die Auszahlung der Option unter diesen Szenarien berechnen, diese Auszahlungen dann diskontieren und den Wert dieser Option ab heute ermitteln.

Optionspreismodelle

Abbildung 1. Zwei-Perioden-Binomialbaum

Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein weiteres häufig verwendetes Optionspreismodell. Dieses Modell wurde 1973 von den Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes entdeckt. Sowohl Black als auch Scholes erhielten für ihre Entdeckung den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.

Das Black-Scholes-Modell wurde hauptsächlich für die Bewertung europäischer Aktienoptionen entwickelt. Das Modell arbeitet unter bestimmten Annahmen hinsichtlich der Verteilung des Aktienkurses und des wirtschaftlichen Umfelds. Die Annahmen zur Aktienkursverteilung umfassen:

  • Kontinuierlich zusammengesetzte Renditen der Aktie sind normal verteilt und über die Zeit unabhängig.
  • Die Volatilität kontinuierlich zusammengesetzter Renditen ist bekannt und konstant.
  • Zukünftige Dividenden sind bekannt (als Dollarbetrag oder als feste Dividendenrendite).

Die Annahmen über das wirtschaftliche Umfeld sind:

  • Der risikofreie Zinssatz ist bekannt und konstant.
  • Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern.
  • Es ist möglich, ohne Kosten Leerverkäufe zu tätigen und zum risikofreien Zinssatz zu leihen.

Diese Annahmen können jedoch gelockert und gegebenenfalls an besondere Umstände angepasst werden. Darüber hinaus könnten wir dieses Modell leicht verwenden, um Optionen auf andere Vermögenswerte als Aktien (Währungen, Futures) zu bewerten.

Die im Black-Scholes-Modell verwendeten Hauptvariablen umfassen:

  • Der Preis des Basiswerts (S) ist ein aktueller Marktpreis des Vermögenswerts
  • Der Ausübungspreis (K) ist ein Preis, zu dem eine Option ausgeübt werden kann
  • Die Volatilität ( σ) ist ein Maß dafür, wie stark sich die Wertpapierpreise in den Folgeperioden bewegen werden. Die Volatilität ist der schwierigste Input im Optionspreismodell, da die historische Volatilität nicht der zuverlässigste Input für dieses Modell ist
  • Die Zeit bis zum Ablauf (T) ist die Zeit zwischen der Berechnung und dem Ausübungsdatum einer Option
  • Der Zinssatz (r) ist ein risikofreier Zinssatz
  • Die Dividendenrendite ( δ) war ursprünglich nicht der Hauptinput in das Modell. Das ursprüngliche Black-Scholes-Modell wurde für Preisoptionen für nicht zahlende Dividendenaktien entwickelt.

Black-Scholes-Preismodell

Aus dem Black-Scholes-Modell können wir die folgenden mathematischen Formeln ableiten, um den beizulegenden Zeitwert der europäischen Calls und Puts zu berechnen:

Black-Scholes-Formel

Die obigen Formeln verwenden die risikoadjustierten Wahrscheinlichkeiten. N (d 1 ) ist die risikobereinigte Wahrscheinlichkeit, die Aktie nach Ablauf der Option zu erhalten, abhängig davon, ob die Option im Geld endet. N (d 2 ) ist die risikobereinigte Wahrscheinlichkeit, dass die Option ausgeübt wird. Diese Wahrscheinlichkeiten werden unter Verwendung der normalen kumulativen Verteilung der Faktoren d 1 und d 2 berechnet .

Black-Scholes Formel 2

Das Black-Scholes-Modell wird hauptsächlich zur Berechnung des theoretischen Werts von Optionen im europäischen Stil verwendet und kann nicht auf Optionen im amerikanischen Stil angewendet werden, da diese vor dem Fälligkeitsdatum ausgeübt werden müssen.

Monte-Carlo-Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation ist ein weiteres Optionspreismodell, das wir berücksichtigen werden. Die Monte-Carlo-Simulation ist eine ausgefeiltere Methode zur Bewertung von Optionen. Bei dieser Methode simulieren wir die möglichen zukünftigen Aktienkurse und verwenden sie dann, um die diskontierten erwarteten Optionsauszahlungen zu ermitteln.

In diesem Artikel werden zwei Szenarien diskutiert: Simulation im Binomialmodell mit vielen Perioden und Simulation in kontinuierlicher Zeit.

Szenario 1

Beim Binomialmodell betrachten wir die Varianten, wenn der Preis für Vermögenswerte (Aktien) entweder steigt oder fällt. In der Simulation besteht unser erster Schritt darin, die Wachstumsschocks des Aktienkurses zu bestimmen. Dies kann durch die folgenden Formeln erfolgen:

Monte-Carlo-Simulation

h in diesen Formeln ist die Länge einer Periode und h = T / N und N ist eine Anzahl von Perioden.

Nachdem wir die zukünftigen Vermögenspreise für alle erforderlichen Zeiträume ermittelt haben, ermitteln wir die Auszahlung der Option und diskontieren diese Auszahlung auf den Barwert. Wir müssen die vorherigen Schritte mehrmals wiederholen, um genauere Ergebnisse zu erhalten, und dann alle Barwerte mitteln, um den beizulegenden Zeitwert der Option zu ermitteln.

Szenario 2

In der kontinuierlichen Zeit gibt es unendlich viele Zeitpunkte zwischen zwei Zeitpunkten. Daher trägt jede Variable zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert.

In diesem Szenario verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung des Aktienkurses, die impliziert, dass die Aktie einem zufälligen Gang folgt. Random Walk Random Walk-Theorie Die Random Walk-Theorie oder die Random Walk-Hypothese ist ein mathematisches Modell der Börse. Befürworter der Theorie glauben, dass die Kurse von bedeuten, dass die zukünftigen Aktienkurse nicht durch die historischen Trends vorhergesagt werden können, da die Preisänderungen unabhängig voneinander sind.

Im geometrischen Brownschen Bewegungsmodell können wir die Formel für die Aktienkursänderung angeben:

Geometrisches Brown'sches Bewegungsmodell

Wo:

S - Aktienkurs

ΔS - Änderung des Aktienkurses

µ - erwartete Rendite

t - Zeit

σ - Standardabweichung der Aktienrenditen

- Zufallsvariable µ

Im Gegensatz zur Simulation in einem Binomialmodell müssen wir bei der kontinuierlichen Zeitsimulation nicht den Aktienkurs in jeder Periode simulieren, sondern den Aktienkurs bei Fälligkeit S (T) nach folgender Formel bestimmen :

Kontinuierliche Zeitsimulation

Wir erzeugen die Zufallszahl und lösen nach S (T) . Danach ähnelt der Prozess dem, was wir für die Simulation im Binomialmodell durchgeführt haben: Ermitteln Sie die Auszahlung der Option bei Fälligkeit und diskontieren Sie sie auf den Barwert.

Andere Ressourcen

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