Punktschätzer sind Funktionen, mit denen aus Zufallsstichproben der Population ein ungefährer Wert eines Populationsparameters ermittelt wird. Sie verwenden die Beispieldaten einer Population, um eine Punktschätzung oder eine Statistik zu berechnen, die als beste Schätzung eines unbekannten Parameters dient. Parameter Ein Parameter ist eine nützliche Komponente der statistischen Analyse. Es bezieht sich auf die Merkmale, die zur Definition einer bestimmten Population verwendet werden. Es ist an eine Bevölkerung gewöhnt.
Meistens sind die vorhandenen Methoden zum Ermitteln der Parameter großer Populationen unrealistisch. Wenn Sie beispielsweise das Durchschnittsalter der Kinder ermitteln, die den Kindergarten besuchen, ist es unmöglich, das genaue Alter jedes Kindergartenkindes auf der Welt zu ermitteln. Stattdessen kann ein Statistiker den Punktschätzer verwenden, um eine Schätzung des Populationsparameters vorzunehmen.
Eigenschaften von Punktschätzern
Das Folgende sind die Hauptmerkmale von Punktschätzern:
1. Bias
Die Abweichung eines Punktschätzers ist definiert als die Differenz zwischen dem erwarteten Wert. Erwarteter Wert Der erwartete Wert (auch als EV, Erwartung, Durchschnitt oder Mittelwert bezeichnet) ist ein langfristiger Durchschnittswert von Zufallsvariablen. Der erwartete Wert gibt auch den Schätzer und den Wert des zu schätzenden Parameters an. Wenn der geschätzte Wert des Parameters und der Wert des zu schätzenden Parameters gleich sind, wird der Schätzer als unverzerrt betrachtet.
Je näher der erwartete Wert eines Parameters an dem Wert des gemessenen Parameters liegt, desto geringer ist die Vorspannung.
2. Konsistenz
Die Konsistenz gibt an, wie nahe der Punktschätzer mit zunehmender Größe am Wert des Parameters bleibt. Der Punktschätzer benötigt eine große Stichprobengröße, um konsistenter und genauer zu sein. Sie können auch überprüfen, ob ein Punktschätzer konsistent ist, indem Sie den entsprechenden erwarteten Wert und die Varianz betrachten. Varianzanalyse Die Varianzanalyse kann als Analyse der Differenz zwischen geplanten und tatsächlichen Zahlen zusammengefasst werden. Die Summe aller Abweichungen ergibt ein Bild der Gesamtüber- oder -unterperformance für einen bestimmten Berichtszeitraum. Für jeden einzelnen Artikel bewerten Unternehmen seine Günstigkeit, indem sie die tatsächlichen Kosten vergleichen. Damit der Punktschätzer konsistent ist, sollte sich der erwartete Wert in Richtung des wahren Werts des Parameters bewegen.
3. Am effizientesten oder unvoreingenommensten
Der effizienteste Punktschätzer ist derjenige mit der geringsten Varianz aller unverzerrten und konsistenten Schätzer. Die Varianz misst den Grad der Streuung von der Schätzung, und die kleinste Varianz sollte von einer Probe zur anderen am wenigsten variieren.
Im Allgemeinen hängt die Effizienz des Schätzers von der Verteilung der Bevölkerung ab. Beispielsweise wird in einer Normalverteilung der Mittelwert als effizienter als der Median angesehen, dies gilt jedoch nicht für asymmetrische Verteilungen.
Punktschätzung vs. Intervallschätzung
Die beiden Haupttypen von Schätzern in der Statistik sind Punktschätzer und Intervallschätzer. Die Punktschätzung ist das Gegenteil der Intervallschätzung. Es erzeugt einen einzelnen Wert, während letzterer einen Wertebereich erzeugt. Ein Punktschätzer ist eine Statistik, mit der der Wert eines unbekannten Parameters einer Population geschätzt wird. Bei der Berechnung einer einzelnen Statistik werden Beispieldaten verwendet, die die beste Schätzung des unbekannten Parameters der Population darstellen.
Andererseits verwendet die Intervallschätzung Beispieldaten, um das Intervall der möglichen Werte eines unbekannten Parameters einer Population zu berechnen. Das Intervall des Parameters wird so ausgewählt, dass es innerhalb einer Wahrscheinlichkeit von 95% oder höher liegt, auch als Konfidenzintervall bezeichnet. Konfidenzintervall Ein Konfidenzintervall ist eine Schätzung eines Intervalls in Statistiken, das einen Populationsparameter enthalten kann. Der unbekannte Populationsparameter wird durch einen Stichprobenparameter ermittelt, der aus den Stichprobendaten berechnet wird. Beispielsweise wird der Populationsmittelwert μ unter Verwendung des Stichprobenmittelwerts x̅ ermittelt. . Das Konfidenzintervall gibt an, wie zuverlässig eine Schätzung ist, und wird aus den beobachteten Daten berechnet. Die Endpunkte der Intervalle werden als obere und untere Konfidenzgrenze bezeichnet.
Allgemeine Methoden zum Ermitteln von Punktschätzungen
Der Prozess der Punktschätzung umfasst die Verwendung des Werts einer Statistik, die aus Probendaten erhalten wird, um die beste Schätzung des entsprechenden unbekannten Parameters der Population zu erhalten. Zur Berechnung der Punktschätzer können verschiedene Methoden verwendet werden, und jede Methode verfügt über unterschiedliche Eigenschaften.
1. Methode der Momente
Die Methode der Momente der Parameterschätzung wurde 1887 vom russischen Mathematiker Pafnuty Chebyshev eingeführt. Es beginnt damit, bekannte Fakten über eine Population zu nehmen und diese dann auf eine Stichprobe der Population anzuwenden. Der erste Schritt besteht darin, Gleichungen abzuleiten, die die Populationsmomente mit den unbekannten Parametern in Beziehung setzen.
Der nächste Schritt besteht darin, eine Stichprobe der Bevölkerung zu ziehen, die zur Schätzung der Bevölkerungsmomente verwendet werden soll. Die in Schritt 1 abgeleiteten Gleichungen werden dann unter Verwendung des Stichprobenmittelwerts der Populationsmomente gelöst. Dies ergibt die beste Schätzung der unbekannten Populationsparameter.
2. Maximum Likelihood Estimator
Die Maximum-Likelihood-Schätzmethode der Punktschätzung versucht, die unbekannten Parameter zu finden, die die Likelihood-Funktion maximieren. Es verwendet ein bekanntes Modell und verwendet die Werte, um Datensätze zu vergleichen und die am besten geeignete Übereinstimmung für die Daten zu finden.
Beispielsweise kann ein Forscher daran interessiert sein, das Durchschnittsgewicht von Frühgeborenen zu kennen. Da es unmöglich wäre, alle vorzeitig in der Bevölkerung geborenen Babys zu messen, kann der Forscher eine Probe von einem Ort aus entnehmen. Da das Gewicht von Frühgeborenen einer Normalverteilung folgt, kann der Forscher den Maximum-Likelihood-Schätzer verwenden, um das Durchschnittsgewicht der gesamten Population von Frühgeborenen anhand der Stichprobendaten zu ermitteln.
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