Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

Das Central Limit Theorem (CLT) ist ein statistisches Konzept, das besagt, dass die Stichprobenmittelverteilung einer Zufallsvariablen eine nahezu normale oder normale Verteilung annimmt, wenn die Stichprobengröße groß genug ist. In einfachen Worten besagt der Satz, dass die Stichprobenverteilung des mittleren Mittelwerts ein wesentliches Konzept in Mathematik und Statistik ist. Im Allgemeinen bezieht sich ein Mittelwert auf den Durchschnitt oder den häufigsten Wert in einer Sammlung von Ansätzen einer Normalverteilung, wenn die Größe der Stichprobe zunimmt, unabhängig von der Form der ursprünglichen Bevölkerungsverteilung.

CLT-Diagramm (Central Limit Theorem), das die Konvergenz zur Normalverteilung zeigt

Wenn der Benutzer die Anzahl der Proben auf 30, 40, 50 usw. erhöht, bewegt sich der Graph der Probenmittel in Richtung einer Normalverteilung. Die Stichprobengröße muss 30 oder höher sein, damit der zentrale Grenzwertsatz gilt.

Eine der wichtigsten Komponenten des Satzes ist, dass der Mittelwert der Stichprobe der Mittelwert der gesamten Population ist. Wenn Sie den Mittelwert mehrerer Stichproben der Bevölkerung berechnen, diese addieren und ihren Durchschnitt ermitteln, ist das Ergebnis die Schätzung des Bevölkerungsmittelwerts.

Gleiches gilt bei Verwendung der Standardabweichung Standardabweichung Aus statistischer Sicht ist die Standardabweichung eines Datensatzes ein Maß für die Größe der Abweichungen zwischen den Werten der enthaltenen Beobachtungen. Wenn Sie die Standardabweichung aller Stichproben in der Grundgesamtheit berechnen, addieren und den Durchschnitt ermitteln, ist das Ergebnis die Standardabweichung der gesamten Grundgesamtheit.

Wie funktioniert der zentrale Grenzwertsatz?

Der zentrale Grenzwertsatz bildet die Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es macht es leicht zu verstehen, wie sich Populationsschätzungen bei wiederholter Stichprobe verhalten. Typ-II-Fehler Beim statistischen Hypothesentest ist ein Typ-II-Fehler eine Situation, in der ein Hypothesentest die falsche Nullhypothese nicht zurückweist. In anderen . In einem Diagramm zeigt der Satz die Form der Verteilung, die durch wiederholte Populationsproben gebildet wird.

Wenn die Probengrößen größer werden, neigt die Verteilung der Mittelwerte aus den wiederholten Proben dazu, sich zu normalisieren und einer Normalverteilung zu ähneln. Das Ergebnis bleibt unabhängig von der ursprünglichen Form der Verteilung gleich. Dies kann in der folgenden Abbildung dargestellt werden:

Central Limit Theorem (CLT) - Wie es entsteht

Aus der obigen Abbildung können wir schließen, dass die ursprüngliche Form der Verteilung trotz der Tatsache, dass sie gleichmäßig war, zu einer Normalverteilung tendiert, wenn der Wert von n (Stichprobengröße) zunimmt.

Neben der Darstellung der Form, die das Stichprobenmittel annehmen wird, gibt der zentrale Grenzwertsatz auch einen Überblick über den Mittelwert und die Varianz der Verteilung. Der Stichprobenmittelwert der Verteilung ist der tatsächliche Populationsmittelwert, aus dem die Stichproben entnommen wurden.

Die Varianz der Stichprobenverteilung ist andererseits die Varianz der Population geteilt durch n . Je größer die Stichprobengröße der Verteilung ist, desto geringer ist daher die Varianz des Stichprobenmittelwerts.

Beispiel eines zentralen Grenzwertsatzes

Ein Anleger ist daran interessiert, die Rendite des ABC-Aktienindex zu schätzen, der aus 100.000 Aktien besteht. Aufgrund der Größe des Index Dow Jones Industrial Average (DJIA) ist der Dow Jones Industrial Average (DJIA), auch allgemein als "Dow Jones" oder einfach "Dow" bezeichnet, einer der beliebtesten und am weitesten verbreiteten. Bei anerkannten Börsenindizes kann der Anleger nicht jede Aktie einzeln analysieren und verwendet stattdessen Stichproben, um eine Schätzung der Gesamtrendite des Index zu erhalten.

Der Anleger wählt zufällige Stichproben der Aktien aus, wobei jede Stichprobe mindestens 30 Aktien umfasst. Die Stichproben müssen zufällig sein, und alle zuvor ausgewählten Stichproben müssen in nachfolgenden Stichproben ersetzt werden, um Verzerrungen zu vermeiden.

Wenn die erste Stichprobe eine durchschnittliche Rendite von 7,5% erzielt, kann die nächste Stichprobe eine durchschnittliche Rendite von 7,8% erzielen. Aufgrund der Art der randomisierten Stichprobe führt jede Stichprobe zu einem anderen Ergebnis. Wenn Sie die Stichprobengröße mit jeder ausgewählten Stichprobe erhöhen, bilden die Stichprobenmittel ihre eigenen Verteilungen.

Die Verteilung der Probenmittel bewegt sich in Richtung Normal, wenn der Wert von n zunimmt. Die durchschnittliche Rendite der Aktien im Stichprobenindex schätzt die Rendite des gesamten Index auf 100.000 Aktien, und die durchschnittliche Rendite ist normal verteilt.

Geschichte des zentralen Grenzwertsatzes

Die ursprüngliche Version des zentralen Grenzwertsatzes wurde von Abraham De Moivre, einem in Frankreich geborenen Mathematiker, geprägt. In einem 1733 veröffentlichten Artikel verwendete De Moivre die Normalverteilung, um die Anzahl der Köpfe zu ermitteln, die sich aus mehreren Münzwürfen ergeben. Das Konzept war zu dieser Zeit unbeliebt und wurde schnell vergessen.

1812 wurde das Konzept jedoch von Pierre-Simon Laplace, einem anderen berühmten französischen Mathematiker, wieder eingeführt. Laplace führte das Normalverteilungskonzept in seiner Arbeit mit dem Titel „Théorie Analytique des Probabilités“ wieder ein, in der er versuchte, die Binomialverteilung mit der Normalverteilung zu approximieren.

Der Mathematiker stellte fest, dass der Durchschnitt unabhängiger Zufallsvariablen bei zunehmender Anzahl tendenziell einer Normalverteilung folgt. Zu dieser Zeit erregten die Ergebnisse von Laplace zum zentralen Grenzwertsatz die Aufmerksamkeit anderer Theoretiker und Akademiker.

Später im Jahr 1901 wurde der zentrale Grenzwertsatz von Aleksandr Lyapunov, einem russischen Mathematiker, erweitert. Lyapunov ging einen Schritt voraus, um das Konzept allgemein zu definieren und zu beweisen, wie das Konzept mathematisch funktioniert. Die charakteristischen Funktionen, mit denen er den Satz lieferte, wurden in die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie übernommen.

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