Was ist die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten?

Bei mehreren Ereignissen wird die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der mindestens eines der Ereignisse eintritt. Wahrscheinlichkeit kann als der Zweig der Mathematik definiert werden, der die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses oder einer Reihe von Ereignissen quantifiziert.

Verwandte konzepte

Bevor Sie die Additionsregel verstehen, ist es wichtig, einige einfache Konzepte zu verstehen:

  • Beispielraum : Dies ist die Menge aller möglichen Ereignisse. Wenn Sie beispielsweise eine Münze werfen, ist der Probenraum {Heads, Tails}, da Heads and Tails alle möglichen Ergebnisse sind.
  • Ereignis : In der Wahrscheinlichkeit wird ein Ereignis als ein bestimmtes Ergebnis definiert. Zum Beispiel ist es ein Ereignis, eine Münze zu werfen und Köpfe zu bekommen.
  • Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse : Dies sind Ereignisse, bei denen das andere Ereignis nicht auftreten kann, wenn eines auftritt. Auch im Münzbeispiel können wir keine Schwänze bekommen, wenn wir Köpfe bekommen. Daher schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus.
  • Sich gegenseitig erschöpfende Ereignisse : Ereignisse, die zusammen den gesamten Probenraum umfassen. Wenn Sie eine Münze werfen, erschöpfen sich das Erhalten von Köpfen und Schwänzen gegenseitig, da der gesamte Probenraum {Heads, Tails} ist.
  • Unabhängige Ereignisse : Ereignisse, die unabhängig voneinander auftreten. Wenn Sie beispielsweise zwei Münzen werfen, ist das Ergebnis der zweiten Münze unabhängig vom Ergebnis der ersten Münze.

Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B lautet:

Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten - Wahrscheinlichkeitsformel

Wo:

  • P (A ∪ B) - Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B auftritt
  • P (A) - Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
  • P (B) - Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.
  • P (A ∩ B) - Wahrscheinlichkeit, dass A und B zusammen auftreten

Das folgende Venn-Diagramm zeigt, wie und warum die Formel funktioniert:

Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten - Venn-Diagramm

Wie oben gezeigt, subtrahieren wir den P (AB) -Term, da er beim Addieren von P (A) und P (B) zweimal gezählt würde.

Berechnung von P (A ∩ B)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B auftreten - P (A ∩ B) - kann leicht berechnet werden, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander sind, indem die beiden Wahrscheinlichkeiten P (A) und P (B) wie folgt multipliziert werden:

Wenn A und B unabhängige Ereignisse sind, dann:

Berechnung von P (A ∩ B)

Wenn die Ereignisse A und B nicht unabhängig voneinander sind, kann die Wahrscheinlichkeit aus der Art der Ereignisse abgeleitet werden, oder es ist auf andere Weise schwierig zu bestimmen.

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Bei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse In der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie schließen sich zwei Ereignisse gegenseitig aus, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können. Das einfachste Beispiel für sich gegenseitig ausschließend ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig auftreten, per Definition Null ist, da das andere Ereignis nicht auftreten kann, wenn eines auftritt. Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gibt es daher:

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse - Formel

Beachten Sie die Tatsache, dass sich gegenseitig ausschließende Ereignisse nicht unabhängig sind, denn wenn sowohl P (A) als auch P (B) Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind, kann P (AB) = P (A) * P (B) nicht Null sein. Tatsächlich hängen sie durch ihre Definition von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen davon ab, dass das andere Ereignis nicht eintritt. Das folgende Diagramm veranschaulicht das Konzept:

Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten - sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Numerisches Beispiel

Kommen wir zu einem numerischen Beispiel, das das Konzept veranschaulicht. Nehmen Sie zwei unabhängige Ereignisse an, A und B. Es sei P (A) = 0,6 und P (B) = 0,4. Dann ist P (A ∪ B) gegeben durch:

  • P (A) = 0,6
  • P (B) = 0,4

P (A ≤ B) = P (A) · P (B) = 0,6 · 0,4 = 0,24

P (A ≤ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,6 + 0,4 - 0,24 = 0,76

Daher beträgt P (A ∪ B) 76% .

Abgeleitete Regeln

Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten liefert einige andere Regeln, die zur Berechnung anderer Wahrscheinlichkeiten verwendet werden können.

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P (A ∪ B) = 0. Daher erhalten wir:

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse - Gemeinsame Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit für genau eines von zwei Ereignissen

Die Wahrscheinlichkeit von genau einem von zwei Ereignissen kann einfach berechnet werden, indem die Additionsregel wie folgt geändert wird:

Wahrscheinlichkeit für genau eines von zwei Ereignissen

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